มาทำความรู้จักกับฟังก์ชันและสมการเชิงเส้นกัน

มาทำความรู้จักกับฟังก์ชันและสมการเชิงเส้นกัน

สมการเชิงเส้นและฟังก์ชันเป็นพื้นฐานของพีชคณิตและการเขียนกราฟ ซึ่งบางคนการเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นคงมีความยุ่งยากไม่ใช่น้อย แต่ถ้ามีเทคนิดและการฝึกฝนบ่อยๆแล้ว การเขียนกราฟของฟังก์ชันและสมการเส้นตรง ก็กลายเป็นเรื่องง่าย เหมือนปอกกล้วยเข้าปากเลยทีเดียว

เล่าประวัติกันหน่อย

พีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์หลากหลายคน ช่วยกันคิดค้นขึ้น โดยหนึ่งในนั้นคือ เดสคาร์ท (Descartes) ได้นำเสนอการเขียนกราฟระหว่างคู่อันดับ x และ y ในขณะที่ยังพบหลักฐานที่พอจะอ้างอิงได้ว่า ก่อนที่จะมีการศึกษาคณิตศาสตร์จนสามารถตั้งเป็นกฎมากมายในยุโรปนั้น ได้มีการศึกษาเรื่องดังกล่าวเกิดขั้นที่ประเทศจีนก่อนหน้าแล้วด้วย ดูๆไปหลายเรื่องก็ดูเหมือนจะกำเนิดจากจีน แต่ไม่มีหลักฐานปรากฎให้เห็นชัดเท่านั้นเอง

พีชคณิตเชิงเส้นหน้าตาเป็นอย่างไร

โดยทั่วไปแล้วเราพบว่าพีชคณิตเชิงเส้นก็คือสมการที่อธิบายถึงกลุ่มของข้อมูลที่สามารถนำไปเขียนลงในพิกัดคาร์ทีเซียน (แกน x แกน y ที่เรารู้จักกันนั้นหละ) และเป็นเส้นตรงนั้นเอง สำหรับสมการเชิงเส้นก็คือสมการที่ประกอบด้วยตัวแปร 2 ตัวโดยที่คำตอบของสมการดังกล่าว แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสองสามารถนำมาเขียนเป็นกราฟเส้นตรงได้ ยกตัวอย่างเช่น 5x+5y = 10 คำตอบของสมการจะเป็นคู่อันดับซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยกราฟความสัมพันธ์ระหว่างค่า x และ ค่า y ส่วนสมการ 2x -6 = 4 เราจะได้คำตอบคือ x =5 ซึ่งเป็นเพียงคำตอบเดียว

 ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น คือฟังก์ชันที่มีคำตอบขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงค่าตัวแปรต้นของฟังก์ชันนั้นๆ โดยทั่วไปแล้วจะเขียนอยู่ในรูป f(x) = 4x-2 ซึ่งจะอ่านกันว่า “f ออฟ x เท่ากับ สี่ x ลบ 2” ซึ่งในการหคำตอบของฟังก์ชัน เราจะเปลี่ยน f(x) ให้อยู่ในรูปตัวแปร y ซึ่งช่วงของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการสามารถแสดงได้ด้วยกราฟเส้นตรง หรืออาจจะหาได้โดยการแก้สมการหาค่า x ที่ค่า y ต่างๆ ก็ได้

สมการเชิงเส้นแก้กันอย่างไร

ในการแก้สมการเชิงเส้น ต้องจำไว้เสมอว่า สมการเชิงเส้นจะมีคำตอบเดียวในกรณีที่มีตัวแปรเดียว แต่ถ้าเป็นสมการที่มีสองตัวแปรแล้ว คำตอบที่ได้จะแสดงเป็นช่วงคำตอบซึ่งเป็นคู่อันดับและสามารถนำไปเขียนกราฟได้

ตัวอย่างเช่น สมการ 3X-12 = 3 จะมีคำตอบเดียว คือ x = 5 ซึ่งหาได้โดย การย้ายข้างสมการตามลำดับดังนี้ 3x = 3+12; 3x=15; และ x = 15/3 = 5; ดังนั้น จึงได้ค่า x = 5 ส่วนในกรณี 2x +5y = 4; จะพบว่ามีสองตัวแปร ดังนั้นคำตอบของสมการดังกล่าวจะหาได้ด้วย การใช้กราฟ

มาเขียนกราฟกัน

จากสมการ 2x +5y = 4 เราจะเขียนกราฟสมการนี้ได้ จะต้องจัดรูปให้อยู่รูปของ สมการเชิงเส้นที่บ่งบอกถึง ค่าความชันและจุดตัดแกนของกราฟเสียก่อน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วสมการเส้นตรงจะแสดงในรูป y = ax +b โดยที่ a คือความชันของกราฟ และ b คือจุดตัดแกน จากนั้นสามารถเขียนกราฟได้โดยการแทนค่า ตัวแปรเพื่อหา คู่อันดับ (x,y) ที่สอดคล้องกับสมการ จากนั้นนำชุดของคู่อันดับดังกล่าวไปเขียนกราฟ

มาดูวิธีการจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปทั่วไป y = ax +b วิธีการนี้ ทำได้โดยการย้ายค่าตัวแปรต่างชนิดกันให้อยู่ คนละด้าน จากนั้น นำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร y ไปหารอีกด้านของสมการ ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้นจะได้ว่า 2x +5y = 4; 5y = -2x +4; y = -(2/5)x+(4/5); เมื่อเทียบกับรูปทั่วไปจะได้ว่า ความชันเท่ากับ -2/5 และ จุดตัดแกน y คือ 4/5 = 0.8 นั่นคือจะได้จุดของคู่อันดับแรก คือ (0,0.8)

ส่วนอีกจุดหนึ่งหาได้จากการพิจารณาความชัน ซึ่งจากความชัน -(2/5) หมายความว่า มีการเลื่อนค่าของแกน y ลดลงไปเท่า 2 และมีค่าของแกน x เพิ่มค่าขึ้นจากเดิมไป 5 ดังนั้น เมื่อจุดแรกคือ (0,0.8) ก็จะได้จุดของคู่อันดับที่สองคือ (0+5,0.8-2) = (5,-1.2) นั่นเอง เมื่อนำคู่อันดับที่ได้ทั้งสองไปลงจุดบนกราฟแล้วลากเส้นตรงให้ตัดจุดทั้งสองก็จะได้ กราฟของสมการเส้นตรงของ สมการ 2x +5y = 4

จากนี้ไป ความเชี่ยวชาญของเรา ก็คงต้องขึ้นอยู่กับการฝึกฝนแล้วละครับ...ท่องไว้ ยิ่งฝึกก็ยิ่งเชี่ยวชาญ...

Posted in: ฟังก์ชัน,ระบบสมการเชิงเส้น,สมการเชิงเส้น,สมการเส้นตรง