พื้นฐานการแก้สมการเชิงเส้น

         น้องๆ อาจคุ้นกับสมการเชิงเส้นที่ได้เรียนในห้องเรียนคณิตศาสตร์อยู่แล้ว ซึ่งเราอาจเจอกับสมการเชิงเส้นมาตั้งแต่ชั้นประถมกันเลยทีเดียว โดยเมื่อเราเรียนในระดับมัธยมต้น มัธยมปลาย สมการดังเชิงเส้นก็ยังมีความสำคัญอยู่ แต่เพิ่มความเข้มข้นในการเรียนที่มากขึ้น ดังนั้นถ้าน้องๆ ไม่เข้าใจวิธีการแก้สมการเชิงเส้นมาตั้งแต่ต้นแล้วก็คงทำให้หมดความชอบต่อการเรียนไปเลยทีเดียว วันนี้ลองมาดูหน่อยสิว่า การแก้สมการเชิงเส้นนั้นเขามีวิธีในการแก้ยังไงกัน  ซึ่งแก้สมการเป็นกันแล้ว น้องๆ ต้องไม่ลืมฝึกฝนด้วยการทำการบ้าน รวมถึงโจทย์ปัญหาที่หลากหลายมากขึ้น เพื่อเพิ่มทักษะในการคิดแก้ปัญหาสมการเชิงเส้นให้มากขึ้น ส่งผลให้น้องเรียนเรื่องสมการเชิงเส้นได้สนุก ไม่เบื่อหน่ายอีกต่อไป

ขั้นตอนการแก้สมการเชิงเส้น

• ทำการแยกตัวแปรกับค่าคงที่ให้อยู่คนละข้างของสมการ หรือถ้าจะพูดกันง่ายๆ ก็คือจับพวก X ไปอยู่กันคนละข้างกับ ค่าตัวเลขนั้นเอง ยกตัวอย่างเช่นถ้ากำหนดสมการมาให้เป็น 3x + 6 = 12  น้องๆ ก็จัดการลบทั้งสองข้างของสมการออกด้วยค่าคงที่ 6 เพื่อที่จะทำให้ข้างซ้ายมือเหลือเพียงค่าที่เป็นตัวแปรและขวามือเป็นค่าคงที่เท่านั้น ซึ่งจะได้ 3x = 6
• จากนั้นก็ทำการแก้สมการ หาค่า x ด้วยการหารหรือคูณ ซึ่งในตัวอย่างของเรา จะต้องทำการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย ค่าคงที่ 3  ซึ่งจะได้ว่า x = 6/3 = 2 นั่นเอง
•  ขั้นตอนสุดท้าย ต้องทำการตรวจคำตอบกันสักหน่อย เพื่อตรวจสอบความถูกต้อง โดยทำการแทนค่า x ที่ได้จาก ขั้นตอนที่ 2 ลงในสมการที่เป็นโจทย์ ซึ่งในที่นี้จะได้ว่า 3(2)+ 6 = 12 ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น คำตอบที่ได้จึงเป็นคำตอบของสมการจริง

          เห็นไหมละครับ การแก้สมการไม่ใช่เรื่องยากสำหรับร้องอีกต่อไปแล้ว สรุปขั้นตอนง่ายๆ แยกตัวแปรกับค่าคงที่ หาค่า แล้วก็ตรวจคำตอบ น้องๆ ก็สามารถแก้สมการเชิงเส้นได้แล้ว นอกเหนือจากนี้ถ้าอยากเป็นเซียนก็ต้องลองหาโจทย์การบ้านมาฝึกทักษะเพิ่มเติม หรือถ้าการบ้านน้องๆ ยากเกินไปต้องการให้เวบสอนการบ้านออนไลน์ช่วยแนะวิธีคิดก็ถามคำถามกันมาได้เลย ยินดีเป็นอย่างยิ่งครับ

Read More

มาดูวิธีการทำโจทย์คณิตศาสตร์สมการกำลังสองของ ม.ปลายกัน

         

       สำหรับสมการกำลังสองนั้น น้องๆ คงได้เจอกันมาตั้งแต่เรียน ม.ต้น กันเลยทีเดียว แต่พอขึ้นระดับสูงขึ้น ความยากก็เพิ่มขึ้นตามวันนี้ เวบสอนการบ้านออนไลน์ นำโจทย์คณิตศาสตร์ที่เป็นของ ม.ปลายให้ดูกัน เป็นตัวอย่างข้อสอบแอดมิดชัน เผื่อจะได้เป็นแนวทางในการทำโจทย์ข้ออื่นที่ มีวิธีการทำในลักษณะเดียวกัน

วิธีทำติวออนไลน์ ตามคลิปเลยครับ...คิดว่าแสดงวิธีทำไว้ละเอียดพอสมควร ลองดูแล้วทำตามดู เข้าใจได้ง่าย ถ้าสงสัยก็ ถามได้เลยในคอมเม้นได้เลย

Read More

แก้โจทย์สมการกำลังสองด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ

โจทย์คณิตศาสตร์อีกข้อ ที่ใช้่ ทบ. เศษเหลือมาช่วยหาคำตอบ ทางเวบสอนการบ้านออนไลน์ นำมาแสดงวิธีทำอย่างง่ายๆ อยู่ในวีดีโอ แล้วก็รูปเลือกดูได้ตามถนัด ติวออนไลน์ ตรงถึงน้องๆ เลยครับ

มีข้อสงสัย แนะนำ ติชมกัน มาได้เลย จะได้ปรับปรุงให้ ถูกใจกันมากยิ้งขึ้น

สำหรับวีดีโอ ตามลิงค์ข้างล่างนี้ เลยครับ

 อันสุดท้ายสำหรับรูปครับ ดูทีเดียวจบ สำหรับน้องๆ ที่ดูวิดีโอ สอนการบ้านออนไลน์ ไม่ได้

Read More

มาทำความรู้จักกับฟังก์ชันและสมการเชิงเส้นกัน

มาทำความรู้จักกับฟังก์ชันและสมการเชิงเส้นกัน

สมการเชิงเส้นและฟังก์ชันเป็นพื้นฐานของพีชคณิตและการเขียนกราฟ ซึ่งบางคนการเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นคงมีความยุ่งยากไม่ใช่น้อย แต่ถ้ามีเทคนิดและการฝึกฝนบ่อยๆแล้ว การเขียนกราฟของฟังก์ชันและสมการเส้นตรง ก็กลายเป็นเรื่องง่าย เหมือนปอกกล้วยเข้าปากเลยทีเดียว

เล่าประวัติกันหน่อย

พีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์หลากหลายคน ช่วยกันคิดค้นขึ้น โดยหนึ่งในนั้นคือ เดสคาร์ท (Descartes) ได้นำเสนอการเขียนกราฟระหว่างคู่อันดับ x และ y ในขณะที่ยังพบหลักฐานที่พอจะอ้างอิงได้ว่า ก่อนที่จะมีการศึกษาคณิตศาสตร์จนสามารถตั้งเป็นกฎมากมายในยุโรปนั้น ได้มีการศึกษาเรื่องดังกล่าวเกิดขั้นที่ประเทศจีนก่อนหน้าแล้วด้วย ดูๆไปหลายเรื่องก็ดูเหมือนจะกำเนิดจากจีน แต่ไม่มีหลักฐานปรากฎให้เห็นชัดเท่านั้นเอง

พีชคณิตเชิงเส้นหน้าตาเป็นอย่างไร

โดยทั่วไปแล้วเราพบว่าพีชคณิตเชิงเส้นก็คือสมการที่อธิบายถึงกลุ่มของข้อมูลที่สามารถนำไปเขียนลงในพิกัดคาร์ทีเซียน (แกน x แกน y ที่เรารู้จักกันนั้นหละ) และเป็นเส้นตรงนั้นเอง สำหรับสมการเชิงเส้นก็คือสมการที่ประกอบด้วยตัวแปร 2 ตัวโดยที่คำตอบของสมการดังกล่าว แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสองสามารถนำมาเขียนเป็นกราฟเส้นตรงได้ ยกตัวอย่างเช่น 5x+5y = 10 คำตอบของสมการจะเป็นคู่อันดับซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยกราฟความสัมพันธ์ระหว่างค่า x และ ค่า y ส่วนสมการ 2x -6 = 4 เราจะได้คำตอบคือ x =5 ซึ่งเป็นเพียงคำตอบเดียว

 ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น คือฟังก์ชันที่มีคำตอบขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงค่าตัวแปรต้นของฟังก์ชันนั้นๆ โดยทั่วไปแล้วจะเขียนอยู่ในรูป f(x) = 4x-2 ซึ่งจะอ่านกันว่า “f ออฟ x เท่ากับ สี่ x ลบ 2” ซึ่งในการหคำตอบของฟังก์ชัน เราจะเปลี่ยน f(x) ให้อยู่ในรูปตัวแปร y ซึ่งช่วงของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการสามารถแสดงได้ด้วยกราฟเส้นตรง หรืออาจจะหาได้โดยการแก้สมการหาค่า x ที่ค่า y ต่างๆ ก็ได้

สมการเชิงเส้นแก้กันอย่างไร

ในการแก้สมการเชิงเส้น ต้องจำไว้เสมอว่า สมการเชิงเส้นจะมีคำตอบเดียวในกรณีที่มีตัวแปรเดียว แต่ถ้าเป็นสมการที่มีสองตัวแปรแล้ว คำตอบที่ได้จะแสดงเป็นช่วงคำตอบซึ่งเป็นคู่อันดับและสามารถนำไปเขียนกราฟได้

ตัวอย่างเช่น สมการ 3X-12 = 3 จะมีคำตอบเดียว คือ x = 5 ซึ่งหาได้โดย การย้ายข้างสมการตามลำดับดังนี้ 3x = 3+12; 3x=15; และ x = 15/3 = 5; ดังนั้น จึงได้ค่า x = 5 ส่วนในกรณี 2x +5y = 4; จะพบว่ามีสองตัวแปร ดังนั้นคำตอบของสมการดังกล่าวจะหาได้ด้วย การใช้กราฟ

มาเขียนกราฟกัน

จากสมการ 2x +5y = 4 เราจะเขียนกราฟสมการนี้ได้ จะต้องจัดรูปให้อยู่รูปของ สมการเชิงเส้นที่บ่งบอกถึง ค่าความชันและจุดตัดแกนของกราฟเสียก่อน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วสมการเส้นตรงจะแสดงในรูป y = ax +b โดยที่ a คือความชันของกราฟ และ b คือจุดตัดแกน จากนั้นสามารถเขียนกราฟได้โดยการแทนค่า ตัวแปรเพื่อหา คู่อันดับ (x,y) ที่สอดคล้องกับสมการ จากนั้นนำชุดของคู่อันดับดังกล่าวไปเขียนกราฟ

มาดูวิธีการจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปทั่วไป y = ax +b วิธีการนี้ ทำได้โดยการย้ายค่าตัวแปรต่างชนิดกันให้อยู่ คนละด้าน จากนั้น นำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร y ไปหารอีกด้านของสมการ ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้นจะได้ว่า 2x +5y = 4; 5y = -2x +4; y = -(2/5)x+(4/5); เมื่อเทียบกับรูปทั่วไปจะได้ว่า ความชันเท่ากับ -2/5 และ จุดตัดแกน y คือ 4/5 = 0.8 นั่นคือจะได้จุดของคู่อันดับแรก คือ (0,0.8)

ส่วนอีกจุดหนึ่งหาได้จากการพิจารณาความชัน ซึ่งจากความชัน -(2/5) หมายความว่า มีการเลื่อนค่าของแกน y ลดลงไปเท่า 2 และมีค่าของแกน x เพิ่มค่าขึ้นจากเดิมไป 5 ดังนั้น เมื่อจุดแรกคือ (0,0.8) ก็จะได้จุดของคู่อันดับที่สองคือ (0+5,0.8-2) = (5,-1.2) นั่นเอง เมื่อนำคู่อันดับที่ได้ทั้งสองไปลงจุดบนกราฟแล้วลากเส้นตรงให้ตัดจุดทั้งสองก็จะได้ กราฟของสมการเส้นตรงของ สมการ 2x +5y = 4

จากนี้ไป ความเชี่ยวชาญของเรา ก็คงต้องขึ้นอยู่กับการฝึกฝนแล้วละครับ...ท่องไว้ ยิ่งฝึกก็ยิ่งเชี่ยวชาญ...

Read More

มาลองใช้ MS Excel ช่วยแก้ระบบสมการเชิงเส้่นกันเถอะ

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วย MS Excel

สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่สามารถหาคำตอบได้ จะเขียนอยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น  a1X+b1Y = c1 และ a2X+b2Y = c2 คำตอบของสมการที่สอดคล้องกับระบบสมการนี้ค่า X และ Y โดยที่ "a1," "a2," "b1," "b2," "c1" และ c2 คือ สัมประสิทธิ์ของสมการ โดยที่วิธีการในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนั่นำได้หลายวิธี หนึ่งในนั้นก็คือ การใช้กฎของ เครเมอร์ (Cramer's rules) ซึ่งสามารถแก้สมการได้โดยใช้เมตริกซ์สามตัวที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้น โดยที่วิธีนี้สามารถนำเอาไมโครซอฟต์แอกเซล (MS Excel) มาช่วยอำนวยความสะดวกในการแก้สมการให้ง่ายยิ่งขึ้น ซึ่งช่วยให้ได้คำตอบได้รวดเร็ว และยังสามารถนำไปไว้ใช้ในการตรวจคำตอบของระบบสมการที่ได้จากการแก้สมการด้วยวิธีอื่นได้อีกด้วย น้องๆเองสามารถนำไปตรวจคำตอบของการบ้านได้ เพื่อความถูกต้องได้อีกระดับหนึ่ง

ขั้นแรกต้องสร้างไฟล์ Ms Excel เสียก่อน ตามขั้นตอนกันเลย

•        เปิดโปรแกรม MS Excel  แล้วสร้างชีทใหม่
•        คลิกที่ เซลล์  “A4” แล้วป้อนข้อมูลดังนี้ ‘ = A2*B3-A3*B2’ แล้วเคาะ Enter
•        คลิกที่ เซลล์  “B4” แล้วป้อนข้อมูลดังนี้ ‘ = C2*B3-C3*B2’ แล้วเคาะ Enter
•        คลิกที่ เซลล์  “C4” แล้วป้อนข้อมูลดังนี้ ‘ = A2*C3-A3*C2’ แล้วเคาะ Enter
•        คลิกที่ เซลล์  “A5” แล้วป้อนข้อมูลดังนี้ ‘ = B4/A4’ แล้วเคาะ Enter
•        คลิกที่ เซลล์  “C5” แล้วป้อนข้อมูลดังนี้ ‘ = C4/A4’ แล้วเคาะ Enter
•        ขั้นตอนสุดท้าย ทำการบันทึกไฟล์ไว้ใช้งาน

ขั้นตอนการแก้สมการ

•        เปิดไฟล์ที่ทำการบันทึกไว้ จากขั้นตอนแรก
•        ป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสมการแรกลงในช่อง A2,B2 และ C2 เรียงตามลำดับ
•        ป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่สองลงในช่อง A3,B3 และ C3 เรียงตามลำดับ
•        คำตอบที่ได้จะปรากฎในช่อง ‘A5’ คือ X  และ  ‘C5’ คือ Y   ตามลำดับ

Read More

สมการเชิงเส้นเขาแก้กันอย่างไร?

สมการเชิงเส้นเขาแก้กันอย่างไร?

ก่อนอื่นมาทำความรู้จักกับสมการเชิงเส้นกันเสียก่อนว่าคืออะไร สำหรับสมการเชิงเส้นนั้นว่ากันง่ายๆก็คือสมการที่อธิบายถึงความสัมพันธ์ที่เป็นเส้นตรงอื่น โดยสามารถเขียนได้รูปทั่วไปได้เป็น f(x) = ax +b  เมื่อ a และ b คือค่าคงที่ หรือบางครั้งเราจะเห็นอยู่ในรูป y = ax +b นั่นเอง สำหรับค่าคงที่ a นั่นจะแสดงถึงความชันของเส้นตรงที่ได้จากกราฟ ส่วน b แสดงถึงจุดตัดแกน y ของกราฟสมการเชิงเส้น นั่นเอง ข้อสังเกตสำหรับสมการเชิงเส้นนั่นง่ายมาก เพียงสังเกตตัวแปร x ซึ่งเป็นตัวแปรต้นของสมการเส้นตรงจะต้องมีเลขยกกำลังหนึ่งเท่านั้น

หลากวิธีการแก้สมการเชิงเส้น

•        สำหรับสมการแบบง่ายๆ แค่ย้ายข้างครั้งเดียวก็ได้คำตอบ ซึ่งอยู่ในรูป x+ a = b  สมการเชิงเส้นแบบนี้ แก้ได้ง่ายๆ โดยการจับย้ายข้างสมการ โดยแยกตัวแปร ให้อยู่กันคนละด้านกับค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น  x-5 = 10 ก็จะได้  x= 10-5 = 5 , x + 8 = 10 จะได้ x = 10-8 = เป็นต้น มีสังเกตง่ายๆ สำหรับการย้านข้างสมการก็คือ ถ้ามีการสลับข้างเมื่อไร ก็แค่เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้ามกับของเดิมก็เท่านั้นเองครับ
• 
  
•        สมการแบบต่อไปก็คือสมการที่ต้องจัดการย้ายข้างสองครั้งถึงจะได้คำตอบ ซึ่งจะอยู่ในรูป ax+b = c  สำหรับสมการประเภทนี้ก็เริ่มด้วยการแยกตัวแปรอยู่ด้านหนึ่งส่วนค่าคงที่ไปอยู่อีกด้าน แต่ต้องทำเพิ่มจากแบบแรก อีกชั้นตอน เพื่อทำให้อีกข้างเหลือเพียงตัวแปรอย่างเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 3x+5 = 17 จะได้ 3x = 17-5 = 12, x = 12/3 =4, อีกตัวอย่างเช่น 2x -5 = 5 จะได้ 2x = 5+5 =10, x =10/5 = 2 เป็นต้น
• 
  
•        ในกรณีของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรอยู่ทั้งสองข้างของสมการ เช่น 2x+3 =4x-15 วิธีการก็ยังเหมือนเดิม คือจัดการย้ายข้างตัวแปรและ ค่าคงที่ของสมการเส้นตรงไปอยู่คนละด้านกันก็เท่านั้น ดังนั้นจากตัวอย่างจะได้  2x-4x =-15-3 ,-2x = -18, จะได้ x = -18/-2 = 9 เป็นต้น
• 
  
•         สมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป a(x+b) ให้จัดการกระจายพจน์ในวงเล็บให้เรียบร้อยก่อน จะได้ ax + bx จากนั้นก็แก้สมการตามเดิม  คือแยกตัวแปร กับค่าคงที่ไว้คนละข้างของสมการ เช่น 2(x+1) = 3(x -11)  จะได้ 2x+2 = 3x -33, -x = -35, นั้น  x = 35
• 
  
•         สมหรับสมการเชิงเส้น ที่มีมากกว่าพจน์เดียว จากหลายกรณีก่อนหน้าเราเห็นว่า ในแต่ละด้านมีพจน์ตัวแปรแค่พจน์เดียว แต่สำหรับในสมการเชิงเส้นหรือสมการเส้นตรงที่ยากขึ้น ในแต่ละข้างของสมการจะมีพจน์ที่เป็นตัวแปร มากกว่าหนึ่งพจน์ เช่น 2x + 3(x-3) = 4(x+2) + 9 ในกรณีนี้ ต้องจัดการในแต่ละข้างของสมการให้เสร็จเรียบร้อยก่อน แล้วค่อยจัดการย้ายข้างตัวแปร เพื่อที่จะหาค่า x ต่อไป ดังนั้นในตัวอย่างจะได้ว่า 2x + 3x-9 = 4x+8 +9, 5x-9 = 4x+17, 5x-4x = 17+9, x = 26 เป็นต้น
• 
  
•         ขั้นตอนสุดท้ายก็คือการตรวจคำตอบครับ เมื่อได้คำตอบมาแล้วก็ทำง่ายๆ เพียงนำค่าที่ได้แทนกลับเข้าไปในสมการเดิม ถ้าสมการเป็นจริง คือทั้งสองข้างสมการเส้นตรงเท่ากัน ก็แสดงว่าคำตอบที่ได้ถูกต้อง แต่ถ้าไม่เท่ากันหรือไม่เป็นจริง ก็แสดงว่า คำตอบที่เราได้มานั้น ผิด อาจจะผิดตอนขั้นตอน หรือ ตอนบวกลบเลข ก็ได้ทั้งนั้น  สามารถย้อนกลับไปตรวจสอบใหม่ได้

Read More

โจทย์ระบบสมการเชิงเส้น

   
   พอดีไปเห็นโจทย์เรื่องระบบสมการเชิงเส้นในกูรูมา  ว่าจะตอบแค่คำตอบก็กะไรอยู่ เลยทำเฉลยเป็นไฟล์วีดีไว้ พอทำแล้วก็นึกได้ถึงจัดมาเรียบเรียงไว้เผื่อจะได้ใช้ประโยชน์ สำหรับคนอื่นๆที่ อยากรู้ จะได้เข้ามาหาดูได้ง่าย รวบถึงอยากถามเพิ่มเติม จะได้นำมาถาม มาตอบในที่เดียวกัน

        จริงๆแล้วสำหรับโจทย์คณิตศาสตร์ การบ้านคณิตศาสตร์ทุกระดับชั้น นั้นไม่ได้ยากเกินความสามารถของผู้เรียนหรอก เพียงยังขาดประสบการณ์และ ขาดคนช่วยชี้ แนะ แนวทางเท่านั้นเอง ทางเราหวังว่า คงจะพอช่วยชี้แนะ แนวทางการทำโจทย์คณิตศาสตร์ การบ้านคณิตศาสตร์ให้กับทุกท่านได้ สมหวังครับ...

Read More